循环赛:3 到 20 名参赛者要打多少场?算法、公式与表格

你在筹划下一场比赛,想问一句:到底要打多少场?五支队伍已确认参加,每队对每队都要打一次。或者俱乐部活动室里乒乓球桌旁的五位选手,场景相同,问题相同。两种情况下答案完全一致,因为数学只取决于参赛者数量,与项目无关。无论是足球、乒乓球、板式网球联赛、国际象棋还是扑克牌:对决次数都遵循一个一分钟就能记住的公式。

本文为你提供:对于 3 到 20 名参赛者中的任意数字,给出精确的比赛场数、每位参赛者的比赛数、轮次数以及单场地下的毛时间。还有它背后的算法:圆圈法,职业联赛已用一百多年来编排赛程。这个方法是确定性的、公平的,相同队伍数永远产生相同结果。你不需要 Excel 魔法,也不需要 AI 工具,你需要一个公式和一次轮转。

如果想了解组织一场比赛的全貌而不止比赛数,可参考足球比赛组织主指南。如果要 5、7 或 10 队的现成赛程(含时间预算和并列裁决建议),请看赛程支文。这篇文章是介于和高于上述范围内任意队伍数的算法与公式参考。

公式:N·(N-1)/2

"N 名参赛者循环赛要打多少场"这个问题本质上是组合学问题。N 名参赛者中的每一位都恰好与其他每一位对决一次。对单个参赛者来说就是 N-1 个对手。把这个数加到所有 N 名参赛者头上,得到 N·(N-1) 个对决。但每次对决被算了两次:A 对 B 这场比赛既出现在 A 的对手名单里,也出现在 B 的对手名单里。所以你除以 2,得到公式:

比赛场数 = N · (N-1) / 2

在组合学里这叫"N 中选 2",写作二项式系数。它是从 N 名参赛者中不计顺序地挑出两人的方式总数。对于没有主客场的比赛,这正是正确的数量:每个配对只打一次,顺序无关紧要(A 对 B 与 B 对 A 是同一场)。

N=5 时为 5·4/2 = 10 场。所有配对集合可视化如下:

三角形的上半部显示全部 10 个配对。下半部是冗余的(A 对 B 与 B 对 A 相同),对角线为空因为没人和自己比赛。正是这一逻辑导致公式中除以 2。

10 名参赛者就有 45 场;20 名参赛者有 190 场。比赛数随队伍数二次方增长。N 翻倍,场数约翻四倍:5 队 → 10 场,10 队 → 45 场,20 队 → 190 场。这就是循环赛在大规模下不实用的主因。对于一日制俱乐部比赛,这通常是实用上限:约 10 到 12 名参赛者起,纯循环赛在时间上变得紧张,你会改用小组加淘汰。下文再讨论。

为什么公式成立:再看一次

如果你想手算推导,可以用握手论证:想象 N 名参赛者彼此各握手一次。共有多少次握手?第 1 位与 N-1 只手握;第 2 位只与 N-2 只新手握(第 1 位的手已被算);第 3 位 N-3 只新手握,依此类推。和为 (N-1) + (N-2) + ... + 1 + 0,按高斯求和公式恰好等于 N·(N-1)/2。

两种推导都得到相同结果。这并非巧合,而是标准组合学。学过概率或统计的人立刻能认出"N 中选 2"的二项式系数。对俱乐部实务来说,只需记住:N 队 = N·(N-1)/2 场比赛,完毕。

3 到 20 名参赛者的表格

这张表为你的赛事策划提供第一份现实参考。三点解读说明:

毛时长按单块场地计算。 俱乐部室内比赛中,单块场地是默认情况。如果能并行使用两块场地,时间几乎线性减半,因为每轮可以同时进行的比赛翻倍。轮次数不变,只是每轮的并行场次加倍。

每场时长是保守估计。 10 分钟比赛加 2 分钟休息共 12 分钟毛时长。U7-U9 用 6 到 8 分钟就够;U11 可以拉到 12 到 15 分钟。如果想从这个毛时长推出精确开赛时间,见足球比赛开赛时间规划。

奇数参赛者数额外多一轮。 6 队是 5 轮;7 队是 7 轮。原因:奇数时每轮必须有一支队伍轮空,否则配对数学不成立。整场比赛中,每队恰好轮空一次。

不想手动构建赛程,可以用赛程生成器,一键产出配对、场地分配和并列裁决。生成器内部就是接下来要讲解的圆圈法;你只是省去了把轮转手动誊到表格里的步骤。

如何用表格核对你的场馆时段

大多数俱乐部比赛的场馆时段是固定的:3 小时半日、5 小时延长半日,或整天。毛时长一列一眼能告诉你哪些参赛者数能装进哪个时段。3 小时场馆加单块场地下,6 队(15 场 = 3 小时)勉强能装。7 队(21 场 = 4.2 小时)对 3 小时来说太多,要么加时间要么换模式。8 队(28 场 = 5.6 小时)需要两块场地或改成小组加淘汰。

毛时长也不含搭建与撤场。现实安排:开赛前预留 30 分钟用于到达和队伍登记,结束时预留 30 分钟用于颁奖和撤场。如果你希望场馆净时间 3 小时,实际比赛时间就只有 2 小时。两小时单块场地大约能装 10 场,即循环赛 5 队。再多就得缩短比赛时长或加第二块场地。

N 队循环赛要打多少场?常见队伍数示例

上面的表给出任意 N 的数字。对于俱乐部日常中最常出现的队伍数,值得再看一眼:具体的轮次结构是什么样,这对当天计划意味着什么?

5 队:5 轮共 10 场

5 队共 10 场比赛,每队打 4 场,分 5 轮,每轮 2 场并行加 1 支轮空。这是 bye 机制不可避免的最小配置。圆圈法的成品赛程(A 队固定,B 到 E 围绕轮转):

第 1 轮:A vs E, B vs D    轮空:C
第 2 轮:A vs E, B vs C    轮空:D
第 3 轮:A vs D, E vs C    轮空:B
第 4 轮:A vs C, D vs B    轮空:E
第 5 轮:A vs B, D vs E    轮空:C

五轮下来,每队恰好轮空一次。这是轮转的直接结果:虚拟的 bye 队像其他队一样围绕 A 队轮转,每轮换到不同的队头上。

按 10 分钟比赛在单场地的毛时长:10 × 12 分钟 = 120 分钟,约 2 小时。加 15 分钟缓冲就是 2 小时 15 分钟净场馆时间。两块场地(5 队时少见)1 小时 15 分钟完成。

实际中,5 队循环赛是紧凑半日室内比赛的标配。并列裁决建议:净胜球先于直接对话先于进球数。顺序必须在第一声哨之前确定,否则最后一场之后会有争议。如果想加二级标准如公平竞赛分,也要事先书面公告。

5 名选手在一张桌前(乒乓球、扑克、国际象棋)同样是 10 场。5 对的 padel 单人联赛日,10 场也是现实数字。padel 一场典型 20 到 30 分钟,单场地约需 5 小时,与一整个联赛日匹配。

6 队:5 轮共 15 场

6 队是纯循环赛无需 bye 的最后一个偶数。共 15 场,每队 5 场,5 轮每轮 3 场并行。单场地下 12 分钟毛时长就是 3 小时纯比赛。加缓冲为 3.5 小时。半日室内时段已经紧,但可行。

第 1 轮:A vs F, B vs E, C vs D
第 2 轮:A vs E, F vs D, B vs C
第 3 轮:A vs D, E vs C, F vs B
第 4 轮:A vs C, D vs B, E vs F
第 5 轮:A vs B, C vs F, D vs E

不需要 bye。该配置适合三分之二天的室内比赛。如果只有一个半小时,6 队循环赛太大,要么改成 4 队小组加排位赛,要么减少队数。

6 队单场地实战提示:检查同一队两场比赛之间的间隔。圆圈法的标准轮转下,A 队第 1 轮比赛,然后等两场别的队,再上场。这种间隔合理:两场 × 12 分钟 = 24 分钟,够坐下喝水但不到让肌肉变冷的程度。如果你手动改赛程并"优化",可能不小心把这些间隔缩短或拉长。坚持标准轮转,它不是无缘无故那样优化的。

6 队并列裁决:标准顺序净胜球、直接对话、进球数能用,但每队只 5 场,统计上略薄。一场小负就可能让你从第 1 掉到第 3,如果净胜球先排。想要更稳定,可以把直接对话排在净胜球之前。重要:事先书面。

7 队:7 轮共 21 场,有 bye

7 队明显费力。共 21 场,每队 6 场,但分 7 轮,因为每轮一队轮空。整场比赛中每队恰好轮空一次。单场地毛时长:21 × 12 = 252 分钟,无缓冲就约 4 小时。普通半日室内时段下偏紧。

不想让 7 队挤进纯循环赛的标准变通是:4 队组和 3 队组并行各自小循环,然后半决赛和决赛。这把比赛从 21 场减到 6 + 3 + 3 = 12 场再加一场可选排位赛。单场地毛时长降到 2.4 小时而不是 4.2。现成赛程见5、7、10 队的赛程支文。

如果仍想保留经典 7 队循环赛,需要好好记录 bye 分布。圆圈法的轮转下,每队恰好轮空一次,但这次轮空在比赛中的位置不同。A 队在第 7 轮(末尾)轮空,B 队在第 4 轮(中间),C 队在第 1 轮(开头)。看似无害,但长比赛中开头或结尾的轮空可能战略上不利。第 1 轮轮空的队冷开场;第 7 轮轮空的队整场都在等却最后没参与。

实务建议:若想影响 bye 分布,可在开始前把队伍依照实力分配到圆圈法的位置,使弱队轮空在开头、强队在末尾。这让观众看的剧本更精彩:决赛轮强强对决紧张,开局给弱队减压。

8 队:7 轮共 28 场

8 队是俱乐部格式下现实循环赛的上限。共 28 场,每队 7 场,7 轮每轮 4 场并行。单场地下 28 × 12 = 336 分钟,约 5.5 小时。整天在场馆。

两块场地并行可降到 2.5 到 3 小时,这就具吸引力。仅一块场地时几乎总会改成两个 4 队组加淘汰:把比赛降到 12 场小组赛加 3 场淘汰(半决赛 + 决赛 + 季军赛)= 15 场。单场地毛时长:3 小时。普通室内比赛时段下现实。

仍要把 8 队跑成循环赛(也许因为是分散到几周的赛季联赛)的话,你有舒适配置:7 轮每轮 4 场并行,每轮每队恰好打一次。与每周一聚或每两周一聚的经典业余联赛节奏吻合。

实际例子:俱乐部 8 队室内业余联赛。你预约每隔一周的周日 14 到 17 点。每个周日打 4 场净 30 分钟比赛(每半场 15 分钟、场间 5 分钟休息、30 分钟缓冲)。结果是 14 周里 7 轮,约 3.5 个月。每轮只需一名裁判(或队伍互判),每队最后打了 7 场。表格决定;其余并列裁决事先固定。

8 队并列裁决:每队 7 场后,统计已经可靠。标准顺序净胜球、直接对话、进球数稳定可用。

10 队:9 轮共 45 场

俱乐部实务中很少把 10 队当作纯循环赛。单场地下 45 场需要 9 小时毛时长,绝大多数情况一天装不下。实务变体:两个 5 队组加半决赛和决赛。共 20 场小组赛加 4 场淘汰 = 24 场。两块场地并行 3.5 小时可完成。单场地约 5 小时,虽长但整天比赛可接受。也有现成赛程见支文。

仍想以赛季联赛形式跑 10 队循环赛的话,配置就是袖珍版德甲:9 轮每轮 5 场并行,全员对垒一次。业余联赛每周一轮约 2 个月;两周一轮约 4.5 个月。现实的俱乐部冬季赛。

10 队下圆圈法有个有趣性质:由于队数为偶,无 bye。每轮每队都上场。单场地下同队两场之间的间隔却很紧:仅一块场地时 24 分钟。两块场地时延到 48 分钟,舒服得多。

实务提醒:10 队循环赛要明确检查场地分配。同队不可在同一轮被安排在两块场地。听似显然,手做赛程时却经常出错。赛程生成器自动且无冲突地分配场地。

12 队:11 轮共 66 场

12 队的纯循环赛只在多日制下有意义。66 场 × 12 分钟 = 13.2 小时毛时长。俱乐部常见解法:三个 4 队组加淘汰,即 18 场小组赛加 4 或 5 场淘汰(视模式而定)。两块场地毛时长约 3 小时。仍要经典 66 场计划(例如俱乐部联赛赛季),赛程卡 PDF 中有按 Berger 顺序的配对列表。

12 队赛季联赛是 11 轮每轮 6 场并行。这是认真业余联赛的典型规模。周赛季约 3 个月;每两周一轮则 6 个月。

12 队常见错误:把一切塞进一天并简单缩短比赛时长。每场 5 分钟而非 10 分钟,毛时长降到 7 小时。能做,但比赛变得太短,体育上不令人满意:5 分钟不够做真正的战术较量。U7-U9 合适,年龄更大或成年队就像在做热身。最好换模式,做小组加淘汰,这样有体育上有意义的 10 到 12 分钟比赛。

圆圈法:赛程是如何构建的

公式告诉你有多少场。但具体怎么得到说第 1 轮 A 对 E、第 2 轮 A 对 D 的赛程?这就是圆圈法登场之处。它是产生循环赛赛程的最古老、最干净的算法,至少在 19 世纪国际象棋赛事组织中已被记录。

一句话原则:一位参赛者保持固定,其他人围绕轮转。每个轮转步骤产生一轮,共 N/2 场并行。

如何阅读图示:在第一格中,第 1 队固定在顶部。其他队(2 到 6)环形分布在它周围。每轮配对通过连结相对位置的队伍形成(顶部第 1 队对底部第 4 队,右上第 2 队对左下第 5 队,依次类推)。每轮过后,2 到 6 队顺时针前移一格。第 1 队固定,否则算法不会终止。

N-1 轮后每队都与其他队各打一次。6 队即 5 轮,最后覆盖全部 15 个配对。

正是这个算法也在 AreaCopa 代码里运行:src/lib/round-robin.ts 中的 generateRoundRobin 函数字节精确地实现了圆圈法。当你调用赛程生成器时,本质上就是在自动构建一张 Berger 表。

奇数队伍时怎么办?

奇数时圆圈法不能直接对齐。5 队时每轮总有一队无对手。标准做法:加一个虚拟 bye 队把奇数 N 提升为偶数,然后照常轮转。某轮与 bye 配对的队就轮空。

五轮下来,每队各轮空一次。整场比赛的 bye 分布是公平的,即便单看每轮显得不均。实务关键:轮空的队不应连续两轮轮空。圆圈法自动保证这一点,因为 bye 每轮都换到不同的队上。

实操:6 队圆圈法分步走

想亲手跟着算法走的话,五分钟拿一支笔和一张纸就能造出完整的 6 队赛程。配方:

第一步: 把队伍写成两行,上一行 A 到 C,下一行 D 到 F,A 在左上角:

A  B  C
F  E  D

第 1 轮的配对是竖向对:A-F、B-E、C-D。

第二步: 除 A 外的所有队顺时针前移一格。A 固定不动。轮转流程是:B 移到左下,然后右下,然后右上,然后回到起点。F 顶替 B 的上方位置,E 走到左下,以此类推:

A  F  B
E  D  C

第 2 轮:A-E、F-D、B-C。

第三步: 对每一轮重复轮转。5 轮后即完成;全部 15 个配对各打一次。

这就是圆圈法的最简形式。奇数队伍时加一个虚拟 bye 队并视为真队对待。某轮与 bye 配对的队就轮空。

该方法在数学上优雅,因为它自动保证每个配对只出现一次。证明来自循环群代数:轮转对应 N-1 阶置换,在 N-1 步内恰好遍历 N-1 个可能的相对位置各一次。

Berger 表:算法的书面形式

实务中搜索循环赛赛程时,你会很快遇到"Berger 表"这一术语。名字源自奥地利国际象棋组织者 Johann Berger,他在 1893 年首次以书面形式固定了国际象棋赛事的轮次配对。背后算法就是圆圈法。Berger 没有发明它,而是把它整理成易用的表格形式,此后几乎每本国际象棋组织手册都有它。

4 名参赛者的 Berger 表如下:

数字是参赛者的种子号。同轮的并行配对并排列出。4 名参赛者共 3 轮每轮 2 场,共 6 场。与公式 4·3/2 = 6 一致。

Berger 表是确定性的:相同参赛者数永远产生相同轮次结构。这是它的实务价值。你不必每次重造赛程,所有相关方都依赖已知次序。在国际象棋界,Berger 表如此普及,以至于抽签往往只是把种子号分给具体棋手。

俱乐部足球比赛不需要从书里查 Berger 表。如果你自动生成赛程,得到的是同一结果。但喜欢传统纸笔工作或想把赛程贴在俱乐部墙上时,人们偏好表格形式。本文配套的赛程卡 PDF 本质就是这个:N=4 到 8 的 Berger 表,可读格式。

Berger 表今天仍在哪里占主导

国际象棋中,Berger 表是任意定额参赛者比赛的标准,从俱乐部锦标赛到 FIDE 大师赛。乒乓球用于团体和单人比赛,从市级锦标到德甲。桥牌有专门的 Berger 变体,还要照顾方位(北、南、东、西)。

足球中,纯 Berger 表较少见,因为大多数联赛打双循环(主客场)。但德甲的赛程生成器底层就是 Berger 逻辑:上半赛季按固定方案确定配对,下半赛季把它们镜像(主场权调换)。

表格形式还有一个好处:Berger 是双向确定的。你既可以读出每个配对在哪轮比赛,也可以从一个配对反推它落在哪轮。比如想知道:第 3 队什么时候对第 5 队?印好的 Berger 表两秒给你答案。

双循环:主客场

德甲一个赛季中,每队与其他每队比两次:一次主场,一次客场。这就是双循环。公式相应调整:总场次 N·(N-1),而非 N·(N-1)/2。18 队的德甲就是 18·17 = 306 场每赛季,分 34 轮每轮 9 场并行。

对俱乐部比赛而言,双循环几乎总是过度。6 队就是 30 场而非 15 场,即 6 小时毛时长而非 3 小时。仅在两种情况下值得:第一,几周内组织俱乐部锦标赛且主客场因素真实存在(不同场地、家长不同行程、不同氛围)。第二,4 或 5 队的极小比赛,想填满日程但单循环结束得太快。

其余情况下,单循环或小组加淘汰几乎总能给出更好的场次对工作量比。不确定哪种模式合适时,可直接对比各模式:

对比表显示:5 到 8 队下单循环最公平,更大阵容则值得切换到小组加淘汰。双循环是最稀有的形式,主要与赛季联赛相关。

双循环何时真正有意义

三种情况下双循环是正确选择。第一:存在真实主客场优势的赛季联赛。德甲中球队在他人主场的发挥与自家不同,这对结果影响可测。要让赛季末的排名公平,每队必须与其他每队各打一次主场和一次客场。这平衡了主场因素的影响。

第二:跨越数周的俱乐部锦标赛,各队在不同日期或条件下比赛。如果你俱乐部有 4 支队伍并在整个冬季搞俱乐部锦标赛,双循环开始有意义:6 轮 12 场,一个真正的赛季,每队既是主队又是客队。

第三:单循环偏短的小型比赛。4 队单循环只有 6 场。要填满一整天的俱乐部活动嫌紧。双循环升到 12 场就能填满一天,无需额外淘汰赛。

这三种情形之外,单循环或小组加淘汰几乎总是更好选择。

板式网球(padel)中的循环赛

板式网球作为双打项目结构上不同于单打网球或乒乓球。永远是两对二打,这把"谁对谁"这一问题提到另一个层次:你说的是对子,还是个人选手?由此衍生出多种比赛格式,只有一部分在经典意义上属于循环赛。

固定对子的 padel 联赛

如果你以固定双打对子组织 padel 比赛或联赛,循环赛数学一比一适用。N 对子时打 N·(N-1)/2 次对决;每次对决是一场两盘或定时的 padel 比赛。6 对固定时为 15 场。这是干净的标准变体,在俱乐部运动中很常见:6 对的冬季赛季,每对对每对一次,表格决定赛季。

固定对子的 Americano

Americano 是 padel 对循环赛的术语,常在一天内完成。固定对子的 Americano(每对整场比赛中保持组合)在数学上与 padel 联赛完全相同:N 对时 N·(N-1)/2 场。8 对就是 28 场。单球场每场 20 分钟就是约 9 小时,所以几乎总要两个或更多球场。

"固定对子"这一限定很重要。也存在比赛内更换搭档的 Americano,这归入下一类。

搭档轮换的 Americano

当玩家在 Americano 中更换搭档以求每人至少与他人各搭档一次时,这就不再是经典循环赛。背后的数学被称为 Social Golfer 问题:给定 N 个玩家,至少需要多少轮才能让每人与他人至少搭档一次?答案取决于 N,且一般情形下在组合学中是个开放问题。

实务上意味着:8 人轮换 Americano 不会给你 28 场,而往往只是 6 到 8 轮每轮 2 场并行。每位玩家的场次落在 6 到 8,而非 N-1。规划这种格式时不能依赖 N·(N-1)/2 公式。

Mexicano 与 King of the Court

Mexicano 比赛基于种子:每轮后根据当前积分重新组合对子。第 1 名与第 4 名搭档对阵第 2 与第 3(典型设置),配对随积分动态变化。每位玩家的对决次数取决于你作为组织者设定的轮数,而非参赛者数量。它与循环赛只共享"无淘汰"这一表面属性。

King of the Court 离循环赛更远:胜对留在场上,败对被替换。比赛顺序由结果决定,而非固定赛程。这是训练和娱乐格式,不是严格意义的比赛格式。

想用 AreaCopa 办 padel 比赛

AreaCopa 目前以足球为重心:模式、数据模型和比赛时长都按足球比赛设计。要为 padel 比赛构建循环赛方案,请简短地写信到 info@areacopa.com 告诉我们你需要哪种格式:固定对子联赛、固定对子 Americano、轮换 Americano、Mexicano。我们在动手之前先收集需求。

具体有帮助的信息:玩家或对子数量、每场期望时长、球场数量,以及预期频率(一次性比赛还是赛季联赛)。基于这些我们能估算 padel 模式的需求量是否足以进入路线图。在那之前我们不会构建,但我们乐于倾听。

可打印的赛程卡

本文最重要的两样东西作为打印模板:3 到 20 名 N 的全部参考表,以及最常见俱乐部规模的对决列表。打印卡片,贴在记分牌旁的板上,所有相关方一眼就能看到当前轮次以及接下来的配对。

结语

循环赛的场次源自一条公式:N·(N-1)/2。5 名参赛者 10 场;8 名 28 场;12 名 66 场。每位参赛者恰好 N-1 次对决,偶数时分 N-1 轮,奇数时分 N 轮且每轮一队轮空。圆圈法给出具体方案:一位参赛者固定,其他人围绕轮转。Berger 表只是这一输出的书面形式。

俱乐部实务:约 8 名参赛者以内,纯循环赛最公平;10 起改用小组加淘汰。双循环留给赛季联赛。不想手做赛程的话,让圆圈法自动跑,在浏览器中拿到现成赛程。

资料来源

• Berger, Johann (1893). Schach-Jahrbuch für 1892/93. Veit & Co, Leipzig. 首次对国际象棋循环赛轮次配对的系统书面记录。
• IFAB Laws of the Game 2024/25, Procedures to Determine the Result of a Match. International Football Association Board. 循环赛终榜并列裁决约定的标准。
• DFB-Booklet Wettbewerbsformen im Kinderfußball,2024 年 9 月版。德国足球协会。自 2024/25 赛季起对 U6 至 U11 节庆赛形式具有约束力,对比赛时长与每位参赛者场次有具体规定。